Disclaimer: Программа является предварительной и приведена для создания общего впечатления о курсе. Содержание тем и последовательность изложения могут быть изменены.
Базовые понятия матричного анализа
Матричные нормы. Сохранение длин и унитарные матрицы. Разложение Шура. Нормальные матрицы. Матричные функции.
Малоранговое приближение матриц
Сингулярное (SVD) и скелетное разложения матриц. Аппроксимация матрицей меньшего ранга. CUR приближение и его интерпретируемость. Приложения.
Вычислительные аспекты линейной алгебры
Представление чисел в компьютере. Обусловленность и вычислительная устойчивость.
Вычисление произведения матриц. Матрицы со специальной структурой: разреженные, тёплицевы матрицы, циркулянты, матрица Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Пакеты программ для решения задач линейной алгебры.
Метод наименьших квадратов (МНК)
Постановка задачи. Псевдообратная матрица. QR разложение и способы его вычисления. Использование QR и SVD разложений для МНК. Линейная регрессия. L1- и L2-регуляризации.
Прямые методы решения систем линейных уравнений
Теория возмущений и число обусловленности матрицы. LU разложение, его связь с методом Гаусса. Ошибки округления и выбор ведущего элемента. Разложение Холецкого. Прямые методы решения больших разреженных систем линейных уравнений.
Итерационные методы решения систем линейных уравнений
Метод наискорейшего спуска и его недостатки. Подпространства Крылова. Метод сопряженных градиентов. Метод обобщенных минимальных невязок (GMRES). Предобуславливание.
Задача на собственные значения
Степенной метод и обратная итерация. Их применения для анализа графов. QR алгоритм и его модификации. Итерационные методы для больших разреженных матриц. Алгоритмы вычисления сингулярного разложения.