Disclaimer: Программа является предварительной и приведена для создания общего впечатления о курсе. Содержание тем и последовательность изложения могут быть изменены.

Базовые понятия матричного анализа

Матричные нормы. Сохранение длин и унитарные матрицы. Разложение Шура. Нормальные матрицы. Матричные функции.

Малоранговое приближение матриц

Сингулярное (SVD) и скелетное разложения матриц. Аппроксимация матрицей меньшего ранга. CUR приближение и его интерпретируемость. Приложения.

Вычислительные аспекты линейной алгебры

Представление чисел в компьютере. Обусловленность и вычислительная устойчивость.

Вычисление произведения матриц. Матрицы со специальной структурой: разреженные, тёплицевы матрицы, циркулянты, матрица Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Пакеты программ для решения задач линейной алгебры.

Метод наименьших квадратов (МНК)

Постановка задачи. Псевдообратная матрица. QR разложение и способы его вычисления. Использование QR и SVD разложений для МНК. Линейная регрессия. L1- и L2-регуляризации.

Прямые методы решения систем линейных уравнений

Теория возмущений и число обусловленности матрицы. LU разложение, его связь с методом Гаусса. Ошибки округления и выбор ведущего элемента. Разложение Холецкого. Прямые методы решения больших разреженных систем линейных уравнений.

Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Метод наискорейшего спуска и его недостатки. Подпространства Крылова. Метод сопряженных градиентов. Метод обобщенных минимальных невязок (GMRES). Предобуславливание.

Задача на собственные значения

Степенной метод и обратная итерация. Их применения для анализа графов. QR алгоритм и его модификации. Итерационные методы для больших разреженных матриц. Алгоритмы вычисления сингулярного разложения.